干货!两万字长文带你走近神秘的量子纠缠

干货!两万字长文带你走近神秘的量子纠缠

本文选自《物理》2014年第4、6、9、11期,2015年第1、3期。

不管学哪个行业,大概都听说过奇妙的量子现象。诸如测不准原理 [1]、薛定谔的猫 [2]之类,在日常生活中看起来匪夷所思的现象,却是千真万确存在于微观的量子世界中。

许多人将听起来有些诡异的量子理论视为天书,从而敬而远之。有人感叹说:“量子力学,太不可思议了,不懂啊,晕!”不懂量子力学,听了就晕,那是非常正常的反应。听听诺贝尔物理学奖得主、大物理学家费曼的名言吧。费曼说:“我想我可以有把握地讲,没有人懂量子力学![3] ”量子论的另一创始人玻尔 (Niels Bohr) 也说过:“如果谁不为量子论而感到困惑,那他就是没有理解量子论[4]。”既然连费曼和玻尔都这样说,我等就更不敢吹牛了。因此,我们暂时不要奢望“懂得”量子力学。此一系列文章的目的是让我们能够多了解、多认识一些量子力学。也许不能“走进”,但却能“走近”。因为量子力学虽然神秘,却是科学史上最为精确地被实验检验了的理论,量子力学经历了100 多年的艰难历史,发展至今,可说是到达了人类智力征程上的最高成就。身为现代人,如果不曾了解一点点量子力学,就如同没有上过因特网,没有写过邮件一样,可算是人生的一大遗憾。

刚才提及量子现象时,说到了“薛定谔的猫”,我们的讨论可由此开始。

奥地利物理学家薛定谔, 出生于 1887 年

薛定谔 (E. Schrödinger,1887—1961) 是奥地利著名物理学家、量子力学的创始人之一,曾获 1933 年诺贝尔物理学奖。在量子力学中,有一个最基本的描述原子、电子等微观粒子运动的薛定谔方程,就是以他而命名的。薛定谔生于维也纳,死于维也纳,但死后如愿被葬于阿尔卑巴赫 (Alpbach) 村,一个风景优美的小山村中。他的墓碑上刻着一个大大的量子力学中波函数的符号 ψ ,而在他曾经就学的维也纳大学主楼里,有一座薛定谔的胸像,那上面雕刻着著名的薛定谔方程

“薛定谔的猫” 又是什么呢?它不是薛定谔家里的猫,而是薛定谔在一篇论文中提出的一个佯谬,也被称为“薛定谔佯谬”。薛定谔虽然创立了薛定谔方程,却非常不满意正统的哥本哈根诠释对波函数及叠加态的几率解释。于是,薛定谔便设计了一个思想实验,在这个实验中,他把量子力学中的反直观效果转嫁到日常生活中的事物上来,也就是说,转嫁到“猫”的身上,如此而导致了一个荒谬的结论。薛定谔想以此来嘲笑对手。

叠加态

既然“薛定谔的猫”与叠加态有关,那么,首先我们需要了解,什么是叠加态?根据我们的日常经验,一个物体在某一时刻总会处于某个固定的状态。比如我说,女儿现在“在客厅”里,或是说,女儿现在“在房间”里。要么在客厅,要么在房间,这两种状态,必居其一。这种说法再清楚不过了。然而,在微观的量子世界中,情况却有所不同。微观粒子可以处于一种所谓叠加态的状态,这种叠加状态是不确定的。例如,电子有“上”、“下”两种自旋本征态,犹如女孩可以“在”和“不在”房间。但不同之处是,女孩只能“在”或“不在”,电子却可以同时是“上”和“下”。也就是说,电子既是“上”,又是“ 下”。电子的自旋状态是“上”和“下”按一定几率的叠加。物理学家们把电子的这种混合状态,叫做叠加态。

总结一下,什么是叠加态呢?就好比是说,女儿“既在客厅,又在房间”,这种日常生活中听起来逻辑混乱的说法,却是量子力学中粒子所遵循的根本之道,不是很奇怪吗?聪明的读者会说:“女儿此刻‘在客厅’或‘在房间’,同时打开客厅和房间的门,看一眼就清楚了。电子自旋是上,或是下,测量一下不就知道了吗?” 说得没错,但奇怪的是,当我们对电子的状态进行测量时,电子的叠加态不复存在,它的自旋坍缩到“上”,或是“下”,两个本征状态的其中之一。听起来好像和我们日常生活经验差不多嘛!但是,请等一等!我们说的微观行为与宏观行为之不同,是在于观测之前。即使父母不去看,女儿在客厅或房间,已成事实,并不以“看”或“不看”而转移。而微观电子就不一样了:在观察之前的状态,并无定论,是“既是……,又是……”的叠加状态,直到我们去测量它,叠加状态才坍缩成一个确定的状态在哥根廷大学的第一个学生。她早期对量子力学的数学哲学基础作了重要的贡献。1935 年,格雷特在一篇文章中提出对冯·诺依曼有关“隐变量不可能性证明”的驳斥。但遗憾的是,格雷特·赫尔曼的文章长期被忽略。即使贝尔1964 年提出冯·诺依曼有关隐变量问题的错误之后,也没有人想到当年格雷特·赫尔曼的那篇文章。又过了10 年,直到1974 年,格雷特·赫尔曼的原文已经发表了将近四十年之后,才被另一位数学家Max Jammer 发掘出来,为这位默默无闻的数学家正名。由此一事,充分显示了名人威力之强大。

Grete Hermann ( 图片来自 wikipedia )

第二次世界大战开始后,格雷特·赫尔曼积极参与了反纳粹组织的各种活动。后来几十年,她也不再涉猎数学和物理,而将她的人生兴趣转向了政治,此是与主题无关的后话。

帮「倒忙」的贝尔

确认了数学大师的这个小错误之后,贝尔探索隐变量的道路畅通了。于是,他开始构想他的理论,以此来支持他的偶像爱因斯坦,企图将量子物理的图像搬回到经典理论的大厦中!不过,他万万没料到,他最终是帮了爱因斯坦的倒忙,反过来证明了量子力学的正确性!接下来,我们稍微用点简单的数学,扼要地说明贝尔是如何得到他的著名的不等式的。

1963-1964 年,在长期供职于欧洲核子中心 (CERN) 后,约翰·贝尔有机会到美国斯坦福大学访问一年。北加州田园式的风光,四季宜人的气候,附近农庄的葡萄美酒,离得不远的黄金海滩,加之斯坦福大学既宁静深沉又宽松开放的学术气氛,孕育了贝尔的灵感,启发了他对 EPR 佯谬及隐变量理论的深刻思考。

贝尔开始认真考察量子力学能否用局域的隐变量理论来解释。贝尔认为,量子论表面上获得了成功,但其理论基础仍然可能是片面的,如同瞎子摸象,管中窥豹,没有看到更全面、更深层的东西。在量子论的深处,可能有一个隐身人在作怪:那就是隐变量。

根据爱因斯坦的想法,在 EPR 论文中提到的,从一个大粒子分裂成的两个粒子的自旋状态,虽然看起来是随机的,但却可能是在两粒子分离的那一刻 ( 或是之前 ) 就决定好了的。打个比喻说,如同两个同卵双胞胎,他们的基因情况早就决定了,无论后来他 ( 她 ) 们相距多远,总在某些特定的情形下,会作出一些惊人相似的选择,使人误认为他们有第六感,能超距离地心灵相通。但是实际上,是有一串遗传指令隐藏在他们的基因中,暗地里指挥着他们的行动,一旦我们找出了这些指令,双胞胎的“心灵感应”就不再神秘,不再需要用所谓“非局域”的超距作用来解释了。

粒子的自旋

尽管粒子自旋是个很深奥的量子力学概念,并无经典对应物,但粗略地说,我们可以用三维空间的一段矢量来表示粒子的自旋。比如,对 EPR 中的纠缠粒子对 A 和 B 来说,它们的自旋矢量总是处于相反的方向,如下图所示的红色矢量和蓝色矢量。这两个红蓝自旋矢量,在三维空间中可以随机地取各种方向,假设这种随机性来自于某个未知的隐变量 L。为简单起见,我们假设 L 只有 8 个离散的数值,L=1,2,3,4,5,6,7,8,分别对应于三维空间直角坐标系的 8 个卦限。

8 个卦限中纠缠态粒子 A 和 B 的自旋

由于 A,B 的纠缠,图中的红色矢量和蓝色矢量总是应该指向相反的方向,也就是说,红色矢量的方向确定了,蓝色矢量的方向也就确定了。因此,我们只需要考虑 A 粒子的自旋矢量 (简称红矢) 的空间取向就够了。假设红矢出现在 8 个卦限中的概率分别为 n1,n2…n8。由于红矢的位置在8 个卦限中必居其一,因此我们有:

n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 + n7 + n8 = 1

现在,我们来描述 A,B 的自旋矢量在三维空间可能出现的 8 种情况。下表左半部分列出了在这些可能情况下,自旋矢量在 x,y,z方向的符号。

表1 AB 纠缠态自旋矢量的 8 种可能性以及 4 个相关函数的值

既然 A、B 二粒子系统形成了互为关联的纠缠态,我们便定义几个关联函数,用数学语言来更准确地描述这种关联的程度。比如,我们可以如此来定义 Pxx(L):观察 x 方向红矢的符号和 x 方向蓝矢的符号,如果两个符号相同,函数 Pxx(L) 的值就为 +1,否则,函数 Pxx(L) 的值就为 -1。我们从上表列出的红矢和蓝矢的符号不难看出,Pxx(L) 的 8 个数值都是 -1。然后,我们使用类似的原则,可以定义其他的关联函数。比如说,Pxz(L),是 x 方向红矢符号与 z 方向蓝矢符号的关联,等等。在上表的右半部分,我们列出了 Pxx(L),Pxz(L),Pzy(L) 和 Pxy(L) 的数值。

贝尔的思路

现在,贝尔继续按照经典的思维方式想下去:一个大粒子分裂成两个粒子 A 和 B,A,B 的自旋看起来是随机的,但实际上是按照上面的列表互相关联着的。然后,它们朝相反方向飞去。经过一段时间之后,两个粒子 A 和 B 分别被两方的观测仪器俘获了。两方的观测者分别对 A 和 B 的自旋方向进行测量。因为 L 是不可知的隐变量,因此,只有关联函数的平均值才有意义。根据表 1 中的数值,我们不难预测这几个关联函数被测量到的平均值:

Pxx = -n1 - n2 - n3 - n4 - n5 - n6 - n7 - n8 = -1

Pxz = -n1 + n2 + n3 - n4 + n5 - n6 - n7 + n8

Pzy = -n1 - n2 + n3 + n4 + n5 + n6 - n7 - n8

Pxy = -n1 + n2 - n3 + n4 - n5 + n6 - n7 + n8

让我们直观地理解一下,这几个关联函数是什么意思呢?可以这样来看:Pxx 代表的是 A 和 B 都从 x 方向观测时,它们的符号的平均相关性。因为纠缠的原因,A,B 的符号总是相反的,所以都从 x 方向观察时,它们的平均相关性是 -1,即反相关。类似地,Pxz 代表的是从 x 方向观测 A 且从 z 方向观测 B 时,它们符号的平均相关性。如果自旋在每个方向的概率都一样,即 n1 = n2 = … = n8 = 1/8 的话,我们会得到 Pxz 为 0。对 Pzy 和 Pxy,也得到相同的结论。

换言之,当概率均等时,如在相同方向测量 A,B 的自旋,应该反相关;而如果在不同方向测量 A 和 B 的自旋,平均来说应该不相关。

我们可以用一个通俗的比喻来加深对上文的理解:两个双胞胎 A 和 B,出生后从未见过面,互相完全不知对方情况。一天,两人分别来到纽约和北京。假设双胞胎诚实不撒谎。当纽约和北京的警察问他们同样的问题:“你是哥哥吗?”,如果 A 回答“是”,B 一定是回答“不是”,反之亦然。对这个问题,他们不需要互通消息,回答一定是反相关的,因为问题的答案是出生时就因出生的顺序而决定了的 (这相仿于 Pxx = -1 的情况)。但是,如果纽约警察问 A:“两人中你更高吗?”,而北京警察问 B:“你跑得更快吗?”,按照我们的经典常识,两人出生后互不相识,从未比较过彼此的高度,也从未一起赛跑。所以,他们的回答就应该不会相关了 (这相仿于 Pxz = 0 的情况)。

贝尔不等式

现在再回到简单的数学:我们在 Pxz,Pzy 和 Pxy 的表达式上做点小运算。首先,将 Pxz 和 Pzy 相减再取绝对值后,可以得到:

然后,利用有关绝对值的不等式,我们有:

这样,从 (1) 式和 (2) 式,我们得到一个不等式:

这就是著名的贝尔不等式。上述不等式是贝尔应用经典概率的思维方法得出的结论。因此,它可以说是在经典的框架下,这3个关联函数之间要满足的一种约束条件。也就是说,如果大粒子分裂成的两个小粒子A和B 是经典粒子的话,它们便必须遵循经典统计的规律,必须满足由经典概率方法得到的贝尔不等式!

但是,如果我们考虑量子力学,将两个小粒子A和B 当成是量子力学中的粒子,情况又将如何呢?它们的行为当然只有两种情形:遵循贝尔不等式,或者不遵循贝尔不等式。如果遵循贝尔不等式的话,那就好了,万事大吉!爱因斯坦的预言实现了。量子力学中的粒子也应该是满足“局域实在论”的,虽然在微观世界中的量子有时候表现得行为诡异,那只不过是因为有某些我们尚且不知道的隐变量而已,那不用着急,将来我们总能挖掘出这些隐变量来。

第二种情况,那就是量子现象不遵循贝尔不等式,也就是说,不能简单地用隐变量的理论来解释量子现象。贝尔用他的“贝尔定理”来表述这种情形:“任何局域隐变量理论都不可能重现量子力学的全部统计性预言”。如果是这样的话,世界好像有点乱套!不过没关系,贝尔说,重要的是,这几个关联函数都是在实验室中可以测量到的物理量。这样,我的不等式就为判定 EPR 和量子力学谁对谁错提供了一个实验验证的方法。那好,理论物理学家们说,我们就暂时停止毫无意义的、纯理论的辩论,让将来的实验结果来说话吧。

纠缠态及其实验

在谈到实验之前,还得顺便提一句,我们在本文中所谈到的量子纠缠以及推导贝尔不等式的过程,用的都是 EPR 佯谬简化了的波姆版。也就是说,我们使用了两个不同的自旋 (“上↑”和“下↓”) 来表述量子态,这使得问题叙述起来简化很多,因为在这种只有两个离散变量的情况下,单个粒子的量子态,只对应于二维的希尔伯特空间。

希尔伯特空间可以理解为将维数扩展到无穷大、变量扩展到复数的欧几里德空间。一个量子态被表示为希尔伯特空间中的一个矢量。单粒子的自旋空间是一个简单的二维希尔伯特空间。如果考虑两个粒子系统的自旋状态,便对应于四维的希尔伯特空间。

在爱因斯坦等人的原始 EPR 文章中,是用两个粒子的位置及动量来描述粒子之间的“纠缠”。位置和动量是连续变量,可以取无穷多个数值,如此表示的量子态则对应于无穷维希尔伯特空间中的矢量。因而,描述和推导都非常复杂,解释起来也困难多了。为简单起见,我们使用自旋或类似的可数离散变量来描述和解释量子态,包括纠缠态。这种方法称之为“离散变量”的方法。但在实际的物理理论和实验中,描述和制备纠缠态时,也可以使用“连续变量”的方法。连续变量和离散变量的纠缠态,在理论和实验研究上有所不同,而在量子信息的应用方面,也各有其优缺点。

自旋空间

在前面的内容中,我们介绍了“叠加态”和“纠缠态”,现在,不妨用点简单的数学来重新整理一下这几个基本概念。

单粒子的自旋量子态,可以表示为二维希尔伯特自旋空间中的一个矢量。著名的英国物理学家狄拉克为量子态空间定义了一套十分优雅的符号系统,比如说,狄拉克用下面两个符号来表示粒子自旋的两个基本状态:|上> 和 |下>,或者记作 |0> 和 |1>。这两个基态是自旋空间的基矢,如下图所示。

普通空间和自旋空间(a)二维欧几里德空间;(b)自旋量子态的希尔伯特空间

一个粒子的自旋叠加态,可以表示成这两个基态(自旋本征态)的线性叠加,如图1(b)所示,

这里的 C1 和 C2 是满足 |C1|2+ |C2|2= 1 的任意复数,它们对应于两个本征态在叠加态中所占的比例系数。当 C1 = 0,或者 C2 = 0 时,叠加态就简化成两个本征态。两个比例系数的平方 |C1|2或 |C2|2,分别代表测量时,测得粒子的状态为本征态 |0> 或本征态 |1>的几率。

狄拉克符号下的「猫」

除了自旋系统之外,狄拉克符号及公式 (1) 也可以用以表示其他系统的本征态。比如,在杨氏双缝实验中,电子或光子位置的叠加态可以写成:

薛定谔理想实验中的猫,也可以写成叠加态的形式:

这个薛定谔猫的例子可以叙述得更具体一些。比如,如果在实验中我们能够确定 C1 = 0.8 和 C2 = 0.6,那么打开盖子时,见到活猫的几率是 0.82= 0.64,而见到死猫的几率是 0.62= 0.36。就是说,实验者有 64 % 的概率看见一只活蹦乱跳的猫,而只有 36 % 的概率看见一只死猫。感谢上帝,他并不会看到一只可怖的又死又活的猫!

薛定谔和爱因斯坦认为那种猫很可怕,但根据玻尔一派的观点,那种叠加的“|猫态>”只有可能存在于打开盖子之前,盖子被揭开之时,叠加态便立刻“塌缩”到了其本征态之一。至于打开盖子之前,玻尔等人认为:猫可能根本就不存在,也不用去想它到底是什么模样,那是个毫无意义的问题!

上述两个例子中的状态,诸如|缝1>、|缝2>、|活猫>、|死猫>,都是“本征态”。根据上面的公式(1)可看出,叠加态是普遍的大多数,而本征态只代表 (C1 = 1,C2 = 0)或者(C1=0,C2=1) 的少数极端情况。还可以看出,如果一个粒子处于本征态,那么,它的测量结果是确定的 (几率 = 1)。

本征态是确定性的,因此,只有叠加态才表现出量子力学“既在这儿、又在那儿”的诡异特征。现在,我们从简单的数学表述,更为深刻地理解了:叠加态的存在是量子力学最大的奥秘,是理解量子力学的关键。

纠缠态的数学表述

那么,又应该如何从数学上来表示“纠缠态”呢?我们以最简单的两个粒子的纠缠为例说明。如果有两个粒子 A 和B,它们分别都有两种自旋本征态 |0>,|1>,将它们简写为 (A1, A0) 和 (B1, B0)。从两个单粒子的自旋本征态,应该可以组合成 4 种双粒子自旋本征态:A1B1、A1B0、A0B1、A0B0。

类似于单粒子的情形,这 4 种本征态可以作为 4 维空间的基底,如果以满足一定归一化条件的复数 C1, C2, C3, C4 为系数,便能线性组合成许多混合叠加态。这些叠加态可以分成两大类:纠缠态和非纠缠态。如果一个双粒子叠加态可以写成单个粒子状态的 (张量) 乘积的话,就是非纠缠态,比如下面是一个非纠缠态的例子:

因为它可以写成第一个粒子的叠加态 (A0 + A1) 和第二个粒子的叠加态 (B0 - B1) 之乘积的形式。为简单起见,我们在上述量子态的表达式中略去了几率归一化的系数 Ci。

双粒子叠加态

现在,研究下面这几种双粒子叠加态:

可以证明,上述叠加态无法表达成两个单粒子状态的乘积,这在物理上意味着两个粒子的状态纠缠在一起不可分。也就是说,如果对其中一个粒子 A 的状态进行测量的话,当 A 塌缩到某个本征态时,粒子 B 的状态也立即塌缩到一个与 A 所塌缩状态相关的本征态,即对 A 的测量将影响对 B 的测量。用上面的量子态“纠缠1”为例来说明这种多粒子复合态如何纠缠。

首先,“纠缠 1”是一个由两个本征态 A0B1 和 A1B0 组成的叠加态。测量之前的状态“既是 A0B1,又是 A1B0”。一旦测量任何一个粒子,比如对粒子 A 进行测量的话,A 的状态立即塌缩成 0,或者 1,几率各半。然而,在测量 A 的瞬时,怪事发生了:虽然 B 没有被测量,但却同时塌缩到与 A 相反的状态,即使这个时候 A 和 B 已经相距很远很远。这便是 A 和 B 互相纠缠的意思。

实际上,薛定谔的猫态并不是简单的死猫和活猫的叠加态,而应该是“猫”和实验中“放射性原子”两者构成的纠缠态:

如果使用量子论的正统解释,上面表达式的意思是说,薛定谔的猫与原子组成的两体系统,处于两个本征态的混合,即

盒子打开之前,总状态不确定,是 |本征态1> 和 |本征态2> 的混合叠加。盒子一旦打开,总状态塌缩到两个本征态之一,几率各半。

量子与贝尔不等式

现在再回到贝尔不等式。大家还记得,在上一节中,我们是用经典概率方法导出这个不等式的。所以,经典粒子的行动规律一定会受限于这个不等式。但量子理论中的粒子又如何呢?会不会遵循这个不等式?简单的理论推导可以证明:量子粒子的行为是违背贝尔不等式的。

仍然考虑(2)式的叠加态“纠缠1”,它对应的量子态又叫做自旋单态。根据量子力学,如果在夹角为 θ 的两个不同方向上对这个自旋单态粒子对进行观测,理论预言的关联函数平均值将会是 -cosθ。这个结果的推导过程需要用到量子力学自旋的计算,在此不表。但是,我们下面利用这个结论,加上几步简单的代数运算,可以检验量子力学的理论是否符合贝尔不等式。

我们之前得出了贝尔不等式

其中的 x,y,z 不一定需要构成三维空间的正交系。比如说,可以取位于同一个平面上的 3 个方向,依次成 60° 的角。这样就有:

代入贝尔不等式左边,则为 |-1/2 - 1/2| = 1,代入贝尔不等式右边,则为 1 - 1/2 = 1/2,因此,对量子力学的这种情况,贝尔不等式不成立。

实验结果

刚才的例子说明,量子理论已经违背了贝尔不等式,实验结果又如何呢?尽管纠缠态是多粒子量子系统中的普遍形式,但是,要在实验室中得到好的纠缠态,可不是那么容易的。有了纠缠度高、效率高、稳定可靠的纠缠态,才有可能在实验室中来验证我们在上一节中说到的贝尔不等式,作出爱因斯坦和量子力学谁对谁错的判决,也才有可能将量子纠缠态实际应用到通讯和计算机工程技术中,实现“量子传输”及“量子计算机”等激动人心的高科技。

上世纪 70 年代早期,一位年轻人走进了哥伦比亚大学“吴夫人” (美籍华人物理学家吴健雄) 的实验室,向吴夫人请教 20 多年前,她和萨科诺夫第一次观察到纠缠光子对的情况,那是在正负电子湮灭时产生的一对高能光子。当时的吴夫人没有太在意年轻学生提出的这个问题,只让他和她的研究生卡斯蒂谈了谈。这位年轻人名叫克劳瑟,出生于美国加利福尼亚的物理世家,因为他的父亲、叔叔及家中几个亲戚都是物理学家,克劳瑟从小就听家人们在一起探讨和争论深奥的物理问题,后来,他进了美国加州理工大学,受到费曼的影响,开始思考量子力学基本理论中的关键问题,他把一些想法和费曼讨论,并告诉费曼说,他决定要用实验来测试贝尔不等式和 EPR 佯谬。据他自己后来半开玩笑地描述当时费曼的激烈反应:“费曼把我从他的办公室里扔了出去!”

贝尔定理和贝尔不等式被誉为“物理学中最重要的进展”之一。之后,贝尔不等式被一个紧紧纠缠在一起的美国物理学家四人小组 (CHSH) 的工作所改良,称为 CHSH 不等式。这四个人的名字是:克劳瑟、霍恩、西摩尼、霍尔特。上面提到的年轻人就是其中之一。尽管当克劳瑟对费曼说,他要用实验来检验贝尔定理,费曼激动得把他从办公室赶了出去。但克劳瑟却坚信实验的必要性,他总记得同是物理学家的父亲常说的一句话:“别轻易相信理论家们构造的各种各样漂亮的理论,最后,他们也一定要回过头来,看看实验中你得到的那些原始数据!”后来,克劳瑟及其合作者果然成为 CHSH - 贝尔不等式实验验证的第一人。

参考文献

[1] Heisenberg W. Zeitschrift für Physik,1927,43:172

[2] Schrödinger E. Naturwissenschaften ,1935,23:807-812,823-828,844-849

[3] Feynman R. The Character of Physical Law,1965. chapter 6(Probability and Uncertainty— the Quantum Mechanical View of Nature),p.129

[4] John G. In Search of Schrödinger's Cat. Toronto:Bantam Books,1984,p.5

[5] Schrödinger E. What Is Life? The Physical Aspect of the Living Cell,1944.

Based on lectures delivered under the auspices of the Dublin Institute for AdvancedStudies at Trinity College. Dublin,in February 1943

[6] In a conversation with Timothy Ferris (4 April 1983), as quoted in The Whole Shebang (1998) by Timothy Ferris ,p. 345

[7] Einstein A,Podolsky B,Rosen N. Phys. Rev.,1935,47:777

[8] Schrödinger E. Naturwissenschaften,1935,23:807—812;823—828;844—849

[9] 方励之. 物理学和质朴性——没有定律的定律. 安徽科学技术出版社,1982

[10] 张天蓉. 科学学与科学技术管理,1985,(2):19

编辑:可乐不加冰、Cloudiiink

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