优化 | 我在哥大研究网游开箱氪金建模
『运筹OR帷幄』转载
作者：雷骁，哥伦比亚大学运筹学博士在读，研究方向收益管理
https://zhuanlan.zhihu.com/p/75057124
编者按
开箱氪金是网游中一种非常普遍的氪金方式。本文运用运筹学的方法，对开箱氪金进行建模。利用数学模型，我们可以揭示不同种类开箱氪金方式对玩家消费的影响。同时我们也可以分析不同的开箱设计方式是否可以让游戏公司盈利更多。
玩网络游戏的朋友肯定对开箱氪金并不陌生，这是当前网络游戏主流的营收手段。在绝大多数的免费网游中，都存在类似于开箱抽卡的机制：玩家花费小额金钱购买一次抽奖的机会，但具体得到什么只有在购买之后才能知道。在开箱的过程中，无数玩家一边因为脸黑痛骂厂商，一边又欲罢不能氪了又氪。根据研报，2018年开箱抽卡为整个游戏行业带来了接近300亿美元的收入。然而，你是否想过为什么开箱氪金如此流行？开箱真的比其他氪金模式更赚钱吗？有没有什么数学模型可以解释它的存在？
无处不在的开箱抽卡氪金
在最近的一篇paper当中，我们对开箱氪金进行了建模，不仅回答了以上问题，还发现了网游氪金设计的惊天秘密！我是哥大运筹学二年级博士生，主要研究方向是revenue management。2018年的夏天，我还在香港做RA，恰逢Dota 2更新了一波箱子，出于职业习惯，我便思考了以上问题，并且开启了这个有趣的项目。我们的工作论文已经挂在网上，并且已经于2019年8月7日在美国联邦贸易委员会（Federal Trade Commission）的公开研讨会上做首次展示。
在文章中，我们主要研究了两种箱子：一种以Dota 2珍藏为代表的箱子，这种箱子在集齐箱中所有物品之前不会产生重复的物品，我们称其为独特箱(unique box)；另种是历史悠久的，概率不变但会开出重复物品的箱子，我们称其为传统箱(traditional box)。独特箱是网络游戏中特有的一种抽卡形式，当Dota2从传统箱改为独特箱时，无数玩家都夸V社良心，随后越来越多的游戏也改成了独特箱。那么是否真的是这样呢？我们以这两种箱子作为基本模型，来分析定价、收益，以及消费者的效用问题。
独特箱实例：Dota2中的珍藏，普通物品在集齐全套之前不会开出重复的
传统箱实例：左图为宝可梦卡包，右图为刺激战场手游版战利品箱，均有可能开出重复物品。
我们的主要发现有：
1）传统箱因为会开出重复物品，可以刺激玩家购买更多的箱子来获取尚未得到的物品。这一机制看上去可以可以扩大收益，实际上只能赚到最大收益的37%。这是因为理性的消费者不会为了凑齐所有物品而疯狂开箱，所以到了一定时刻就会停止购买。
2）独特箱由于不重复，看上去更良心，实际上收益远超传统箱，因为不会重复这一特性会使消费者对独特箱的心理价位更高。当箱子中的物品很多时，独特箱能达到理论上的最大收益，也就是让消费者花最多的钱！
3）从消费者的角度，看上去良心的独特箱将留给玩家几乎为0的消费者剩余，而看上去坑钱的传统箱反而可以留给消费者26%左右的消费者剩余。
在接下来的文章里，我们通过简化版的模型来讲清楚这些问题，具体细节和更多的拓展可以查看我们的paper，不想看数学的可以直接看加粗的结论。
在我们的基本模型中，我们假设一共有
个不同的物品。消费者对每一个物品i都有独立同分布的非负数估值
，它的期望是
，方差是
。消费者的目标是最大化他的净效用，也叫做消费者剩余。净效用等于消费者估值减去花销，比如消费者以2块钱的价格抽到了一个在他心里价值5块钱的东西，那么他这次消费的净效用/消费者剩余就是3块钱。由于消费者的行为是最大化他的效用，他不会在期望效用为负的时候购买，所以不论以何种方式销售（包括但不限于开箱，捆绑销售，零售等等），卖家的期望收益上限是
，因为一旦玩家平均支付超过
，他们的期望净效用都会为负。此外，我们假设任何重复的物品对于玩家来说价值为0。这一假设在游戏中往往成立，比如皮肤限制交易，玩家无法从重复物品里获得任何收益。（在论文中我们还讨论了装备回收机制的作用，并得到了更多震惊的结论，见结尾。）
在我们的模型中，我们假设玩家最开始就会看到所有箱子中的物品（如Dota 2），并对每个物品产生相应的估值。我们对传统箱和独特箱的定义如下：
a）玩家每次打开传统箱可以获取一个物品，获取每个物品的概率均为
，即均匀随机分布。
b）玩家每次打开独特箱可以获取一个未拥有的物品。假如玩家已拥有
个物品，则打开下一个箱子时，获取这
个物品的概率为0，获取每个未拥有物品的概率为
。（如Dota 2）
那么消费者是如何开箱的呢？我们假设消费者是风险中性的，对于传统箱的估值是
对于独特箱的估值是
接下来，我们假设消费者的行为是短视的：当且仅当消费者对箱子的估值大于等于价格p时，他就会购买下一个箱子。（在论文中，我们证明了这个简单策略对于消费者来说，面对传统箱时是最优的，而面对独特箱时也是渐进最优的。考虑到最优策略可能很复杂，假定玩家使用贪心算法是合理的。）
为了不产生歧义，我们用含有三个物品的箱子描述一下上述过程：
我们假设有一个消费者对于方块，圆，三角的valuation分别为2，1，4。现在有一个传统箱价格为1.5。那么消费者最开始对于箱子的估值是(2+1+4)/3=7/3>1.5，所以他会买第一个箱子。假如第一个箱子开出了方块，那么他对传统箱的估值变为(1+4)/3=5/3>1.5，所以他会选择接着购买。如果第二个箱子开出的还是方块，那么他对箱子的估值不变，会选择接着购买，直到开出不是方块的新物品为止。在开出第二个新物品之后，消费者对箱子的估值要么变为1/3，要么变为4/3，均低于价格1.5，所以他会停止购买。
如果这三个东西放在一个价格为1.5的独特箱里，那么消费者最开始对于箱子的估值是(2+1+4)/3=7/3>1.5，所以他会买第一个箱子。假如第一个箱子开出的是方块，那么他对第二个箱子的估值变为(1+4)/2=2.5>1.5，所以他会买第二个箱子。如果第二个箱子开出了三角，那么他对第三个箱子的估值变为1，停止购买。
好了，现在我们有了所有的假设，接下来我们将描述如何决定传统箱和独特箱的价格和收入！
我们首先考虑传统箱。假设传统箱的价格为
（
），我们需要确定它的销量，从而确定它的收入。值得注意的是，在我们的模型中，消费者只有开出未拥有的物品，他对传统箱的估值才会改变（新开出的物品此后价值变为0），而开出重复物品时他对箱子的估值不会改变，因此他会一直购买直到开出下一个未拥有的物品，再决策是否继续购买。那么他会在什么时候停止呢？回想一下，我们假设玩家对每个未开出的物品的估值大概为
，对他已经拥有的物品估值为0。当他尚未开出的物品数量下降到大约
个时，他对箱子的估值就会下降到
也就会停止购买（再买估值就会小于p)。那么需要开多少个箱子，才能开出
个独特物品？这个问题就相对简单了，每次开出新物品所需的次数都符合几何分布：第一个新物品只需要开一次箱，第二个新物品有(N-1)/N的概率开到，也就是平均需要N/(N-1)次开箱，第三个新物品平均需要N/(N-2)次。。。把它们相加后，我们得到：
所以当我们使用价格p时，我们的收入就是价格乘销量，也就是
。那么什么价格是最优价格呢？我们对
求最大值，发现
，这时的销量刚好是
，收入是
。上文我们曾经讨论过，收入的上限是
，所以传统箱只能得到最佳收入的1/e（37%），并不是一种非常高效的赚钱工具！
那么独特箱呢？当
很大时，根据大数定律，消费者对第一个箱子的估值为
，所以当我们用略低于
的价格
时，绝大多数的玩家都会买第一个箱子。那么第二个箱子呢？N-1个物品的价值均值还是约等于
，所以绝大多数人还是会买第二个箱子。这样一个一个买下去，直到箱子里剩下的物品数量非常少，大数定律失效的时候，消费者对箱子的均值才会低于
, 购买才会停止！如果用
表示消费者停止消费时拥有的数量，那么虽然
随机的，但是
很大时，
相对于
的大小来说微不足道的，换句话说，绝大多数消费者会购买接近
个箱子。在我们的模拟中，
时
大约为10，绝大多数玩家拥有90%的物品才停手，当
更大时，
趋近于0。因此，我们只要用
的价格就可以得到
的销量。因为
接近
,
接近
，所以独特箱的收入非常接近理论上的最大收入
!在论文中，我们给出了收入关于
的下限，并证明这个下限和
的比值的确时趋近于1的。
比较传统箱和独特箱，我们得到了很多颠覆认知的结论：
1. 随机过程中经典的赠券收集问题（Coupon Collector）问题告诉我们，想靠传统箱集齐所有物品需要
次开箱，因此很多人都觉得传统箱的销量会很多。但是考虑价格对销量的限制后，独特箱和传统箱的销量都是
，消费者并没有因为独特箱的特性而买更少的箱子。
2. 随着上一条而来的，就是独特箱不仅不良心，而且吸金能力远比传统箱强，接近理论上的最大值！所以V社把旗下游戏的开箱从传统箱改成独特箱，并不是因为G胖良心，而是独特箱更赚钱。多赚多少倍呢？G胖不会数3，所以独特箱比传统箱多赚不到3倍，也就2.718倍吧（也就是e）。
3. 从消费者的角度，独特箱榨取了消费者几乎所有的价值（消费者剩余为0），而传统箱作为一种低效的吸金工具，给消费者也留下了少许消费者剩余（大约
）。
你一定对这个模型有很多不满，比如游戏里的传说物品和普通物品的价值怎么可能是独立同分布呢！游戏里的箱子还不是均匀分布呢，你们假设均匀分布是不是削弱了传统箱的吸金能力？以及开箱虽然赚钱，很多游戏还设计了“装备回收”系统帮消费者止血，G胖怎么就不良心了？
我们的paper对这些情况都做了解答！其中的主要结论有：
4. 当箱子中的物品分为几种等级时（比如传说/神话/不朽），我们探究了如何设计箱子的概率分布来最大化收入。我们发现N很大时，均匀分布对于两种箱子都是渐进最优解，开箱氪金的吸金能力无法靠改变概率提升！
5. 当配备装备回收系统时，我们发现传统箱和独特箱的吸金能力都更上一层楼！过去我们只知道N很大时的结果，可是如果有装备回收系统，即便N很小，独特箱和传统箱的收入都可以保证比零售要高！这更加解释了为什么开箱如此流行。
6. 装备回收系统最多只能提升1.4%的消费者净效用，所以它只是用来提高收入的吸金手段，而不是提升消费者满意度的工具！
如果你对上面的结论感兴趣，可以阅读我们的工作论文，读不下去的话也可以参加我们未来一年的数次展示！我们的首次展示将在联邦贸易委员会的公开研讨会上进行。该研讨会已经于美东时间2019年8月7日在华盛顿宪法中心举行，并对开箱氪金的监管问题展开讨论，届时会有网络直播和视频存档。此次的展示不会有太多数学细节，数学版的首次展示将在10月下旬的INFORMS年会进行，欢迎大家捧场！
文献链接：
https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=3430125
联邦贸易委员会活动链接：
https://www.ftc.gov/news-events/events-calendar/inside-game-unlocking-consumer-issues-surrounding-loot-boxes
PS. 我是一个真正的游戏爱好者，Dota2超凡入圣段位，刀塔霸业独步江湖段位。开启这个项目的本意是希望我们的游戏社区变得更好。今后我也会研究更多关于游戏运营的问题。
PS2. 如果有游戏相关的公司愿意做数据驱动的研究项目（不限于开箱问题），也欢迎私信我。
参考文献：Chen, Ningyuan and Elmachtoub, Adam and Hamilton, Michael and Lei, Xiao, Loot Box Pricing and Design (August 1, 2019). Available at SSRN.